Comprensión del cálculo de límites: una guía completa

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La idea fundamental en matemáticas es el concepto de límites que a menudo se utilizan para comprender cómo se comportan las funciones alrededor y en puntos singulares. Los límites se utilizan para representar y analizar varios fenómenos que involucran cambios en las tasas y el crecimiento en las disciplinas de la física, la ingeniería, la economía y otros dominios.

En esta guía completa, abordaremos el concepto de límites en cálculo. Elaboraremos las reglas fundamentales de los límites que nos ayudarán en los cálculos de los problemas de límites. En la última sección, exploraremos estas reglas fundamentales de los límites al resolver ejemplos.

Cálculo de límites: Definición:

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El valor aproximado de una función se llama límite. El límite de una función describe cómo se comportará la función a medida que se acerque a un punto particular. En notación matemática, las variables que tienden a un determinado valor se combinan con el signo de límite para expresar límites.

Por ejemplo, el límite de una función f(x) cuando x se acerca a a se escribe de la siguiente manera:

Lim x ????c f (x)

El límite de una función se puede representar gráficamente observando el comportamiento de la gráfica de la función a medida que se acerca a un punto específico. Esto ayuda a comprender el comportamiento de la función cercana a ese punto. En el dominio del cálculo, el concepto de límite es crucial para resolver y definir conceptos importantes, como integrales y diferenciación.

Leyes de límite:

Encontrar el límite de cualquier función y aplicar la regla del límite es un concepto crucial. Para determinar el límite, primero repasaremos algunas leyes fundamentales y sus aplicaciones a funciones algebraicas.

ley limite Definición Resultado Ejemplo
Ley constante Lim x ????a c = c C Lím x ????5 6= 6
ley de identidad Lim x ????a x = c a Lím x ????2 x = 2
Ley de suma Lim x ????a [f(x)+g(x)] = Lim x ????a f(x) + Lim x ????a g(x) L + M Lím x ????3 [(x + 2x)] = 9
Ley de resta Lim x ????a [f(x)-g(x)] = Lim x ????a f(x) – Lim x ????a g(x) L-M Lím x ????3 [(x – 2)] = 1
Ley de coeficientes Lim x ????a cf(x)= c Lim x ????a f(x) c L Lim x ????6 4x = 24
Ley de Producto Lim x ????a [f(x). g(x)] = Lim x ????a f(x). Lim x ????ag (x) LM Lím x ????3 [( x) (2x)] = 18
Ley del cociente Lim x ????a [f(x)/ g(x)] = Lim x ????a f(x)/ Lim x ????a g(x) si Lim x ????a g(x) ≠ 0 L/M para M ≠ 0 Lím x ????3 ( x-2)/3x = 1/9
Ley de potencia Lim x ????a [f(x)] n = [ Lim x ????a f(x)] n L ^ norte Lím x ????1 [2 x] ^3 = 8
Ley raíz Lim x ????a n [ √f(x)= n √ L im x ????a f(x)] norte √ (L) Lim x ????4 3[ √4(x)] = 12

¿Cómo encontrar límites?

Ahora discutiremos algunos ejemplos para encontrar los límites y cómo se aplican las leyes de límites para resolver los problemas de límites.

Ejemplo 1:

Encuentre el límite de la función dada h(x) = (x 2 – 16) / (x – 4) cuando x se acerca a 4 empleando las leyes apropiadas y los resultados importantes del límite.

SOLUCIÓN:

Paso 1: La información dada es:

Función = h (x) = [(x 2 – 16) / (x – 4)] a medida que x se acerca a 4.

Paso 2: Simplificar, empleando las leyes límite y poniendo el valor límite.

Lim x ????4 h(x) = Lim x ????4 [(x 2 – 16) / (x – 4)]

Lim x ????4 h(x) = Lim x ????4 (x 2 – 16) / Lim x ????4 (x – 4) ——— (Regla del cociente)

Lím x ????4 h(x) = [(4) ^2 – 16) / (4 – 4)]

Lím x ????4 h(x) = (16 – 16) / (4 – 4)

Lím x ????4 h(x) = 0 / 0

Como hemos observado el valor de esta función h(x) da una forma indeterminada (0/0). Entonces, primero que nada, debemos obtener esta función en forma simplificada.

Paso 3: Ahora simplifica la función h (x):

Lim x ????4 h(x) = Lim x ????4 [(x 2 – 16) / (x – 4)]

Lim x ????4 h(x) = Lim x ????4 [(x + 4) x (x – 4) / (x – 4)]

Lim x ????4 h(x) = Lim x ????4 (x + 4)

Etapa 4: Pon los valores relevantes

Lim x ????4 h(x) = Lim x ????4 x + Lim x ????4 4 ——— (regla de la suma)

Lím x ????4 h(x) = 4 + 4

Lim x ????4 h(x) = 8.

Ejemplo 2:

Lím x ????-3 (3x 2 +4x+1)/x-1=?

SOLUCIÓN:

Lím x ????-3 (3x 2 +4x+1)/x-1=?

Ahora determinamos el límite de la función proceso paso a paso.

Paso 1:

En el primer paso, aplique el límite a todas las funciones dadas.

Lim x ????-3 (3x 2 +4x+1)/x-1 = Lim x ????-3 (3x 2 ) + Lim x ????-3 (4x) + Lim x ????-3 (1)/ Lim x ????-3 (x)- Lím x ????-3 (1)

Paso 2: 

Separando el coeficiente del límite, tenemos

Lim x ????-3 (3x 2 +4x+1)/x-1 = 3 Lim x ????-3 (x 2 ) +4 Lim x ????-3 (x)+ Lim x ????-3 (1)/ Lim x ????-3 (x )+ Lim x ????-3 (1) — (Ley del coeficiente)

Paso 3:

Ponemos el valor del límite en x=-3 y obtenemos

Lim x ????-3 (3x 2 +4x+1)/(x-1) = 3(-3) 2 +4(-3) +1)/ (-3 + 1)

Lím x ????-3 (3x 2 +4x+1)/(x-1) = 3(9)- 12+1/-2

Lím x ????-3 (3x 2 +4x+1)/(x-1) = 27-12+1/-2

Lím x ????-3 (3x 2 +4x+1)/(x-1) = 16/-2

Lím x ????-3 (3x 2 +4x+1)/(x-1) = -8

Los problemas de encontrar límites también se pueden resolver utilizando una calculadora de límites paso a paso para obtener soluciones paso a paso rápidamente.

Ejemplo 3:

Lím x→4 (2x 3 + 22x 2 -11x – 10)

Lím x→4 =?

SOLUCIÓN:

Paso 1:

Aplicar un límite a todas las funciones.

Lim x→4 (2x 3 + 22x 2 -11x – 10) = Lim x→4 (2x 3 ) + Lim x→4 (22x 2 ) – Lim x→4 (11x) – Lim x→4 (10) – — (Leyes de suma y resta)

Paso 2:

Separando el coeficiente del límite, tenemos

= 2Lim x→4 (x 3 ) +22 Lim x→4 (x 2 ) -11 Lim x→4 ​(x) – Lim x→4 ​(10)

Paso 3:

Poniendo el valor del límite en x=4, obtenemos

Lím x→4 (2x 3 + 22x 2 -11x – 10) = 2(4) 3 +22(4) 2 -11(4) -10

L im x→4 (2x 3 + 22x 2 -11x – 10) = 2(64) +22(16)-44-10

Lím x→4 (2x 3 + 22x 2 -11x – 10) = 138+324-44-10

= 462-54 = 408

Envolver:

En esta discusión detallada, hemos abordado con precisión el importante concepto matemático del límite. También hemos discutido las leyes o reglas fundamentales de los límites con ejemplos resueltos. Esperamos que leyendo y comprendiendo este artículo puedas resolver fácilmente los problemas de límites.

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